Jeu maths : la solution du n°474

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Problème :
Toutes les quatre semaines, Le 7 vous propose, en partenariat avec l’Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (apmep.poitiers.free.fr), un jeu qui met vos méninges à rude épreuve.

Au sein du club Dududu, trois adhérents, Dubois, Dupont et Durand, doivent se partager les responsabilités de président, secrétaire et trésorier.Il est entendu que :
(1) Si Dubois est président, alors Dupont est secrétaire,
(2) Si Dubois est secrétaire, alors Dupont est trésorier,
(3) Si Dupont n’est pas président, alors Durand est secrétaire,
(4) Si Durand est trésorier, alors Dubois est secrétaire.

Quel sera le rôle attribué à chacun des personnages ? (Les cumuls de mandats sont statutairement interdits).

Réponse :
• Si Dubois est président, alors Dupont est secrétaire; il ne reste plus que la responsabilité de la trésorerie pour Durand, mais, d'après (4), Dubois serait alors secrétaire, ce qui est contradictoire.

Donc, Dubois ne peut pas être président.

• Si Dubois est secrétaire, alors Dupont est trésorier, il n'est donc pas président, alors, d'après (3), il faudrait que Durand soit secrétaire, ce qui également contradictoire. Dubois est donc nécessairement trésorier.

• Si Dupont n'est pas président, alors Durand est secrétaire, mais Dupont ne pas être trésorier puisque la place est prise par Dubois.

• Dupont est donc nécessairement président. Il revient alors à Durand le rôle de secrétaire.

Remarque: si Dupont n'est pas président, la condition (3) impose que Durand soit secrétaire, mais si Dupont est président, rien n'empêche Durand d'être secrétaire.

En résumé: Dubois sera trésorier, Dupont président et Durand secrétaire.