Toutes les quatre semaines, le 7 vous propose, en partenariat avec l’association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (http://apmep.poitiers.free.fr/), un jeu qui met vos méninges à rude épreuve.
Un ballon de football est construit sur le modèle d'un polyèdre dont les faces sont des pentagones réguliers ou des hexagones réguliers. La pression à l'intérieur du ballon a pour effet d'arrondir légèrement les arêtes et les faces du polyèdre.
Chaque pentagone est entouré de 5 hexagones. Chaque hexagone est entouré de 3 pentagones et de 3 hexagones en alternance.
• Il y a en tout 12 pentagones. Combien y a-t-il d'hexagones ?
• Combien y a-t-il de sommets ?
• Combien y a-t-il d'arêtes?
Solution
Chacun des 12 pentagones est entouré de 5 hexagones mais chacun de ces hexagones est en contact avec deux autres pentagones. Le nombre d'hexagones est donc égal à 12×5/3.
Il y a 20 hexagones.
Chacun des 12 pentagones possède 5 sommets qu'il ne partage avec aucun autre pentagone et ces 12×5 sommets sont les seuls du polyèdre.
Il y a 60 sommets.
Remarque: on pourrait dire aussi que chacun des 20 hexagones possède 6 sommets qu'il partage avec un autre hexagone. Il y a donc en tout 20×6/2 sommets.
Chaque sommet est commun à 3 arêtes, mais chacune de ces arêtes rejoint 2 sommets. Le nombre d'arêtes est donc égal à 60×3/2.
Il y a 90 arêtes.
Remarque: Rappelons la formule générale d'Euler, relative aux polyèdres convexes: s - a + f = 2, dans laquelle s est le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes et f le nombre de faces.
Ici, on a bien 60 - 90 + (12 + 20) = 2.
À lire aussi ...
Aujourd'hui
Marjorie Estevenet. 30 ans. Poitevine. Vient de publier Sous ma peau, le poids des épreuves, la force des renaissances. Se livre comme jamais sur les tourments du passé qui l’ont façonnée. Maman d’un petit garçon. Et entrepreneuse multi-casquettes. Signe particulier : veut inspirer les autres.
