A vos maths ! Solution du jeu "Le Ballon de foot"

Romain Mudrak - @romainmudrak

Le7.info

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Toutes les quatre semaines, le 7 vous propose, en partenariat avec l’association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (http://apmep.poitiers.free.fr/), un jeu qui met vos méninges à rude épreuve.

Un ballon de football est construit sur le modèle d'un polyèdre dont les faces sont des pentagones réguliers ou des hexagones réguliers. La pression à l'intérieur du ballon a pour effet d'arrondir légèrement les arêtes et les faces du polyèdre.

Chaque pentagone est entouré de 5 hexagones. Chaque hexagone est entouré de 3 pentagones et de 3 hexagones en alternance.

• Il y a en tout 12 pentagones. Combien y a-t-il d'hexagones ?

• Combien y a-t-il de sommets ?

• Combien y a-t-il d'arêtes?

Solution
Chacun des 12 pentagones est entouré de 5 hexagones mais chacun de ces hexagones est en contact avec deux autres pentagones. Le nombre d'hexagones est donc égal à 12×5/3.
Il y a 20 hexagones.

Chacun des 12 pentagones possède 5 sommets qu'il ne partage avec aucun autre pentagone et ces  12×5 sommets sont les seuls du polyèdre.
Il y a 60 sommets.
Remarque: on pourrait dire aussi que chacun des 20 hexagones possède 6 sommets qu'il partage avec un autre hexagone. Il y a donc en tout 20×6/2 sommets.

Chaque sommet est commun à 3 arêtes, mais chacune de ces arêtes rejoint 2 sommets. Le nombre d'arêtes est donc égal à 60×3/2.
Il y a 90 arêtes. 

Remarque: Rappelons la formule générale d'Euler, relative aux polyèdres convexes:  s - a + f = 2, dans laquelle s est le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes et f le nombre de faces.
Ici, on a bien  60 - 90 + (12 + 20) = 2.